Question

【题目】已知二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan∠CAO﹣tan∠CBO=1．

（1）求证：n+4m=0；

（2）求m、n的值；

（3）当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析（2）m=，n=-1或m=-，n=1（3）4

【解析】

试题分析：（1）由题意可知抛物线的对称轴为x=2，利用对称轴公式x=，易证n+4m=0；

（2）本问利用三角函数定义和抛物线与x轴交点坐标性质求解．特别需要注意的是抛物线的开口方向未定，所以所求m、n的值将有两组，不能遗漏；

（3）本问利用一元二次方程的判别式等于0求解．当p＞0时，m、n的值随之确定；将抛物线的解析式与直线的解析式联立，得到一个一元二次方程；由交点唯一可知，此一元二次方程的判别式等于0，据此求出p的值，从而确定了抛物线的解析式；最后由抛物线的解析式确定其最大值．

试题解析：

（1）∵二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2，

∴抛物线的对称轴为x=2，

即=2，

化简得：n+4m=0．

（2）∵二次函数y=mx2+nx+p与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，

∴OA=﹣x1，OB=x2；

x1+x2=，x1x2=；

令x=0，得y=p，

∴C（0，p），

∴OC=|p|．

由三角函数定义得：tan∠CAO=，tan∠CBO=．

∵tan∠CAO﹣tan∠CBO=1

，即，

化简得： =，

将x1+x2=，x1x2=代入得：，

化简得：n==±1．

由（1）知n+4m=0，

∴当n=1时，m=-；当n=﹣1时，m=．

∴m、n的值为：m=，n=﹣1（此时抛物线开口向上）或m=-，n=1（此时抛物线开口向下）．

（3）解：由（2）知，当p＞0时，n=1，m=-，

∴抛物线解析式为：y=x2+x+p．

联立抛物线y=x2+x+p与直线y=x+3解析式得到： x2+x+p=x+3，

化简得：x2﹣4（p﹣3）=0 ①．

∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点，

∴一元二次方程①的判别式等于0，

即△=02+16（p﹣3）=0，解得p=3．

∴抛物线解析式为：y=x2+x+p=y=x2+x+3=（x﹣2）2+4，

当x=2时，二次函数有最大值，最大值为4．

∴当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，二次函数的最大值为4．