Question

【题目】如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤AM= MF．其中正确结论的个数是（ ）
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个

Answer 1

【答案】B
【解析】解：在正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°， ∵E、F分别为边AB，BC的中点，
∴AE=BF= BC，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BAF=∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠AMD=180°﹣（∠ADE+∠DAF）=180°﹣90°=90°，
∴∠AME=180°﹣∠AMD=180°﹣90°=90°，故①正确；
∵DE是△ABD的中线，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；
∵∠BAD=90°，AM⊥DE，
∴△AED∽△MAD∽△MEA，
∴ = = =2，
∴AM=2EM，MD=2AM，
∴MD=2AM=4EM，故④正确；
设正方形ABCD的边长为2a，则BF=a，
在Rt△ABF中，AF= = = a，
∵∠BAF=∠MAE，∠ABC=∠AME=90°，
∴△AME∽△ABF，
∴ = ，
即 = ，
解得AM= a，
∴MF=AF﹣AM= a﹣ a= a，
∴AM= MF，故⑤正确；
如图，过点M作MN⊥AB于N，
则 = = ，
即 = = ，
解得MN= a，AN= a，
∴NB=AB﹣AN=2a﹣ a= a，
根据勾股定理，BM= = = a，
过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，
则OK=a﹣ a= a，MK= a﹣a= a，
在Rt△MKO中，MO= = = a，
根据正方形的性质，BO=2a× = a，
∵BM2+MO2=（ a）2+（ a）2=2a2 ，
BO2=（ a）2=2a2 ，
∴BM2+MO2=BO2 ，
∴△BMO是直角三角形，∠BMO=90°，故③正确；
综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个．
故选B．

根据正方形的性质可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根据中点定义求出AE=BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，从而求出∠AMD=90°，再根据邻补角的定义可得∠AME=90°，从而判断①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；根据直角三角形的性质判断出△AED、△MAD、△MEA三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得 = = =2，然后求出MD=2AM=4EM，判断出④正确，设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据相似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM= MF，判断出⑤正确；过点M作MN⊥AB于N，求出MN、NB，然后利用勾股定理列式求出BM，过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，然后求出OK、MK，再利用勾股定理列式求出MO，根据正方形的性质求出BO，然后利用勾股定理逆定理判断出∠BMO=90°，从而判断出③正确．