Question

【题目】已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．

（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；

（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，

①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，5cm（2）①②a+b=12（ab≠0）

【解析】

试题分析：（1）先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长；

（2）①分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；

②分三种情况讨论可知a与b满足的数量关系式．

解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，

∵EF垂直平分AC，垂足为O，

∴OA=OC，

∴△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

∴四边形AFCE为平行四边形，

又∵EF⊥AC，

∴四边形AFCE为菱形，

②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8﹣x）cm，

在Rt△ABF中，AB=4cm，

由勾股定理得42+（8﹣x）2=x2，

解得x=5，

∴AF=5cm．

（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；

同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．

因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，

∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，

∴PC=5t，QA=CD+AD﹣4t=12﹣4t，即QA=12﹣4t，

∴5t=12﹣4t，

解得，

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．

②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．

分三种情况：

i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12﹣b，得a+b=12；

ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12﹣b=a，得a+b=12；

iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12﹣a=b，得a+b=12．

综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．