Question

【题目】阅读：圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易。

解决问题：如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．

（1）使∠APB=30°的点P有_______个；

（2）若点P在y轴正半轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；

（3）设sin∠APB=m，若点P在y轴上移动时, 满足条件的点P有4个，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）无数；（2）（0， ）或（0， ）；（3）0﹤m﹤.

【解析】试题分析：（1）已知点A、点B是定点，要使∠APB=30°，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个．

（2）结合（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标．

（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得∠APB最大的点P，由此即可求出m的范围．

试题解析：解：（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2．

在优弧AP1B上任取一点P，如图1，则∠APB=∠ACB=×60°=30°，∴使∠APB=30°的点P有无数个．

故答案为：无数．

（2）点P在y轴的正半轴上，过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1．

∵点A（1，0），点B（5，0），∴OA=1，OB=5，∴AB=4．

∵点C为圆心，CG⊥AB，∴AG=BG=AB=2，∴OG=OA+AG=3．

∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=AB=4，∴CG=

=

=2，∴点C的坐标为（3，2）．

过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP2，如图1．∵点C的坐标为（3，2），∴CD=3，OD=2．

∵P1、P2是⊙C与y轴的交点，∴∠AP1B=∠AP2B=30°．

∵CP2=CA=4，CD=3，∴DP2==．

∵点C为圆心，CD⊥P1P2，∴P1D=P2D=，∴P1（0，2+），P2（0，2﹣）．

（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．

理由：可证：∠APB=∠AEH，当∠APB最大时，∠AEH最大．由sin∠AEH= 得：当AE最小即PE最小时，∠AEH最大．所以当圆与y轴相切时，∠APB最大．∵∠APB为锐角，∴sin∠APB随∠APB增大而增大，．

连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．∵⊙E与y轴相切于点P，∴PE⊥OP．

∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°，∴四边形OPEH是矩形，∴OP=EH，PE=OH=3，∴EA=3．sin∠APB=sin∠AEH=，∴m的取值范围是．