Question

【题目】已知，等边三角形ABC的边长为5，点P在线段AB上，点D在线段BC上，且△PDE是等边三角形．
（1）初步尝试：若点P与点A重合时（如图1），BD+BE= ．

（2）类比探究：将点P沿AB方向移动，使AP=1，其余条件不变（如图2），试计算BD+BE的值是多少？

（3）拓展迁移：如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，点P在线段AB的延长线上，点D在线段CB的延长线上，在△PDE中，PD=PE，∠DPE=70°，设BP=a，请直接写出线段BD、BE之间的数量关系（用含a的式子表示）

Answer 1

【答案】
（1）5
（2）解：如图2，过点P作PF∥AC交BC于F，

∴△FPB是等边三角形，

∴BF=PF=PB=AB﹣AP=4，∠BPF=60°，

∵△PDE是等边三角形，

∴PD=PE，∠DPE=60°，

∴∠BPE=∠FPD，

∴△PBE≌△PFD，

∴BE=DF，

∴BD+BE=BD+DF=BF=4；

（3）解：如图3，

过点P作PF∥AC交BC于F，

∴∠BPF=∠BAC=70°，∠PFB=∠C，

∵AB=AC，∠BAC=70°，

∴∠ABC=∠C=55°，

∴∠PFB=∠C=∠PBF=55°，

∴PF=PB=a，

∵∠BPF=∠DPE=70°，

∴∠DPF=∠EPB，

∵PD=PE，

∴△PBE≌△PFD，

∴BE=DF，

过点P作PG⊥BC于G，

∴BF=2BG，

在Rt△BPG中，∠PBD=55°，

∴BG=BPcos∠PBD=acos55°，

∴BF=2BG=2acos55°，

∴BD﹣BE=BD﹣DF=BF=2acos55°．

【解析】解：（1）∵△ABC和△PDE是等边三角形，

∴PE=PD，AB=AC，∠DPE=∠CAB=60°，

∴∠BPE=∠CAD，

∴△PBE≌△ACD，

∴BE=CD，

∴BD+BE=BD+CD=BC=5，

所以答案是5；

【考点精析】解答此题的关键在于理解全等三角形的性质的相关知识，掌握全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等，以及对等边三角形的性质的理解，了解等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°．