Question

【题目】如图，在△ABC中∠BAC=120°，AB=AC，点M、N在边BC上，且∠MAN=60°若BM=2，CN=3，则MN的长为_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

利用旋转作△APC，连接PN，根据旋转得：△ABM≌△ACP，PC=BM=2，证明△MAN≌△PAN，则MN=PN，作高线PD，利用勾股定理计算PD和PN的长，可得结论．

如图，△ABM绕点A逆时针旋转120°至△APC，连接PN，过点P作BC的垂线，垂足为D，


∵∠BAC=120°，AB=AC，

∴∠B=∠ACB=30°,

由旋转可得△ABM≌△APC，
∴∠B=∠ACP=30°，PC=BM=2，∠BAM=∠CAP，
∴∠NCP=60°，
∵∠MAN=60°，
∴∠BAM+∠NAC=∠NAC+∠CAP=60°=∠MAN，
又∵AM=AP，AN=AN，
∴△MAN≌△PAN（SAS），
∴MN=PN，
∵PD⊥CN，∠NCP=60°
∴，

∴DN=CN-CD=3-1=2，
∴

∴MN=