Question

【题目】如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AD是BC边上的中线，过点C作AD的垂线，交AB于点F，求证∠ADC=∠BDE

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：作CH⊥AB于H交AD于P，根据已知条件和等腰直角三角形的性质易证△APH≌△CEH，可得PH=EH，再证得CP=EB，∠PCD=∠EBD=45°，DC=DB，即可得△PDC≌△EDB，结论得证.

试题解析：

作CH⊥AB于H交AD于P，

∵在Rt△ABC中,AC=CB,∠ACB=90°,

∴∠CAB=∠CBA=45.

∴∠HCB=90∠CBA=45=∠CBA.

又∵BC中点为D，

∴CD=BD.

又∵CH⊥AB，

∴CH=AH=BH.

又∵∠PAH+∠APH=90,∠PCF+∠CPF=90，∠APH=∠CPF，

∴∠PAH=∠ECH.

在△APH与△CEH中

∠PAH=∠ECH，AH=CH，∠PHA=∠EHC，

∴△APH≌△CEH(ASA).

∴PH=EH，

又∵PC=CHPH，BE=BHHE，

∴CP=EB.

∵△ACB是等腰直角三角形，

∴∠B=45，

即∠EBD=45，

∵CH⊥AB，

∴∠PCD=45=∠EBD，

在△PDC与△EDB中

PC=EB，∠PCD=∠EBD，DC=DB，

∴△PDC≌△EDB(SAS).

∴∠ADC=∠BDE.