Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D．

（1）如图1，点E，F在AB，AC上，且∠EDF=90°．求证：BE=AF；

（2）点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN=90°．

①如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：AB+AN=AM；

②当点M在点A，D之间，且∠AMN=30°时，已知AB=2，直接写出线段AM的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②AM=．

【解析】（1）先判断出∠BAD=∠CAD=45°，进而得出∠CAD=∠B，再判断出∠BDE=∠ADF，进而判断出△BDE≌△ADF，即可得出结论；

（2）①先判断出AM=PM，进而判断出∠BMP=∠AMN，判断出△AMN≌△PMB，即可判断出AP=AB+AN，再判断出AP=AM，即可得出结论；

②先求出BD，再求出∠BMD=60°，最后用三角函数求出DM，即可得出结论．

（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠C=45°．

∵AD⊥BC，

∴BD=CD，∠BAD=∠CAD=45°，

∴∠CAD=∠B，AD=BD．

∵∠EDF=∠ADC=90°，

∴∠BDE=∠ADF，

∴△BDE≌△ADF（ASA），

∴DE=DF；

（2）①如图1，过点M作MP⊥AM，交AB的延长线于点P，

∴∠AMP=90°．

∵∠PAM=45°，

∴∠P=∠PAM=45°，

∴AM=PM．

∵∠BMN=∠AMP=90°，

∴∠BMP=∠AMN．

∵∠DAC=∠P=45°，

∴△AMN≌△PMB（ASA），

∴AN=PB，

∴AP=AB+BP=AB+AN．

在Rt△AMP中，∠AMP=90°，AM=MP，

∴AP=AM，

∴AB+AN=AM；

②在Rt△ABD中，AD=BD=AB=．

∵∠BMN=90°，∠AMN=30°，

∴∠BMD=90°﹣30°=60°．

在Rt△BDM中，DM==，

∴AM=AD﹣DM=﹣．