Question

【题目】如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于点A（1，6），B（3，n）两点．

（1）求一次函数的表达式；

（2）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积.

Answer 1

【答案】（1）y=-2x+8 ；（2）P（0,5） 3

【解析】试题分析：（1）将A点坐标代入反比例函数解析式即可求出m的值，再将x=3代入反比例函数解析式解得n的值，由此得出B点的坐标，结合A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；

（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，在y轴上任选一点不同于P点的P′点，由三角形内两边之和大于第三边来验证点P就是我们找到的使得PA+PB的值最小的点，由A点的坐标找出点A′的坐标，由待定系数法可求出直线A′B的函数表达式，令x=0即可得出P点的坐标；再结合三角形的面积公式与点到直线的距离即可求出△PAB的面积．

试题解析：解：（1）将点A（1，6）代入反比例函数中，得6=，即m=6．

故反比例函数的解析式为．

∵点B（3，n）在反比例函数上，∴n==2．即点B的坐标为（3，2）．

将点A（1，6）、点B（3，2）代入y=kx+b中，得： ，解得： ．

故一次函数的解析式为y=﹣2x+8．

（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，如图1所示．

在y轴上任取一点P′（不同于点P）．∵A、A′关于y轴对称，∴AP=A′P，AP′=A′P′．在△P′A′B中，有A′P′+BP′=AP′+BP′＞A′B=A′P+BP=AP+BP，∴当A′、P、B三点共线时，PA+PB最小．

∵点A的坐标为（1，6），∴点A′的坐标为（﹣1，6）．

设直线A′B的解析式为y=ax+b，将点A′（﹣1，6）、点B（3，2）代入到y=ax+b中，得： ，解得： ，∴直线A′B的解析式为y=﹣x+5，令x=0，则有y=5．

即点P的坐标为（0，5）．

直线AB解析式为y=﹣2x+8，即2x+y﹣8=0．

AB==，点P到直线AB的距离d==．

△PAB的面积S=ABD=××=3．