Question

【题目】如图，D为ABC的AB边上一点，E为AC延长线上的一点，且CE=BD。

（1）当AB=AC时，求证：DE>BC

（2）当AB≠AC时，DE与BC有何大小关系？给出结论，画出图形，并证明。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】试题分析：

（1）如图1，过点D作DF∥BC，过点C作CF∥AB，连接EF，从而可得DF=BC，这样就把分散的线段集中到了△DEF中，只需证DE>DF即可；易证∠1=∠2，∠3=∠4，∠3>∠5，从而可得∠DFE>∠DEF，∴DE>DF，从而得到：DE>BC；

（2）当ABAC时，我们要分AB>AC和AB<AC两种情况来讨论，

其中：①当AB>AC，且AB=AE时，如图2，结合已知条件此时我们易证△ABC≌△AED，从而得到BC=DE；

②当AB>AC，且AB>AE时，如图3，延长AE到F，使AF=AB，在AB上截取AN=AC，易证△ABC≌△AFN，得到∠F=∠B；再过D作DM∥BC，过C作CM∥BD，得到四边形DBCM是平行四边形，由此可得∠DMC=∠B=∠F，DM=BC；连接ME，则法通过在△DME中证∠DEM>∠DME得到DM>DE，从而得到BC>DE；

③当AB>AC，且AB<AE时，如图4，延长AB到F，使AF=AE，在AE上截取AN=AD，连接NF，易证△AFN≌△AED，可得∠F=∠AED，由∠ABC>∠F得到∠ABC>∠AED；再作DM∥BC，CM∥AB，可得四边形DBCM是平行四边形，得到DM=BC，∠DMC=∠ABC，就可得∠DMC>∠AED；连接ME，在△DME中通过证∠DME>∠DEM，得到DE>DM，就可得到DE>BC；

④当AB<AC<AE时，如图5，延长AB至F，使AF=AE，在AC上截取AN=AD；过点D作DM∥BC，过点C作CM∥AB，连接ME；同上可证：DE>BC.

试题解析：

（１）作DF∥BC，CF∥BD（如图1），

得□BCFD，从而∠DFC＝∠B，

DF＝BC，CF＝BD．

又BD＝CE，∴CF＝CE，

∴∠1＝∠2．

∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B．

而∠DFE＝∠DFC＋∠1＝∠B＋∠1

＝∠ACB＋∠2＞∠AED＋∠2＝∠DEF，

即在△DEF中，∵∠DFE＞∠DEF，

∴DE＞DF，即DE＞BC．

（２）当AB≠AC时，DE与BC的大小关系如下：

当AB＞AC但AB＝AE时，DE＝BC；

当AB＞AC且AB＞AE时，DE＜BC；

当AB＞AC但AB＜AE时，DE＞BC；

当AB＜AC时，DE＞BC．

证明如下：

①当AB＞AC但AB＝AE时（如图2），

∵BD＝CE，∴AB－BD＝AE－CE，即AD＝AC．

在△ABC和△AED中，

∵AB＝AE，∠A＝∠A，AC＝AD，

∴△ABC≌△AED（SAS），∴BC＝ED；

②当AB＞AC且AB＞AE时，

延长AE到F，使AF＝AB，

在AB上截取AN＝AC（如图3），连结NF．

在△ABC和△AFN中，

∵AB＝AF，∠A＝∠A，AC＝AN，

∴△ABC≌△AFN（SAS），∴∠B＝∠F．

∵∠AED＞∠F，∴∠AED＞∠B．

过D点作DM∥BC，过点C作CM∥AB，连结EM，

则四边形DBCM为平行四边形，∴∠DMC＝∠B，CM＝BD，DM=BC，

∵BD=CE，∴CM＝CE，∴∠CME＝∠CEM，

∵∠DMC＝∠B＜∠AED，∴∠CME＋∠DMC＜∠AED＋∠CEM，

即∠DME＜∠DEM，∴DE＜DM，∴DE＜BC；

③当AB＞AC但AB＜AE时，延长AB到F，使AF＝AE，

在AE上截取AN＝AD（如图4），连结NF,

在△AFN和△AED中，

∵AF＝AE，∠A＝∠A，AN＝AD，

∴△AFN≌△AED（SAS），

∴∠F＝∠AED，

∵∠ABC＞∠F，

∴∠ABC＞∠AED，

过D点作DM∥BC，过点C作CM∥AB，连接EM，

则四边形DBCM为平行四边形，

∴∠DMC＝∠ABC，CM＝BD，

∵BD＝CE，

∴CM＝CE，

∴∠CME＝∠CEM，

∵∠DMC＝∠ABC＞∠AED，

∴∠DMC＋∠CME＞∠AED＋∠CEM，

即∠DME＞∠DEM，

∴ DE＞DM，

∴ DE＞BC；

④当AB＜AC时，此时，AB必小于AE，即AB＜AE

延长AB到Ｆ，使AF＝AE，在AE上截取AN＝AD（如图5）．

连结NF．在△AFN和△AED中，

∵AF＝AE，∠A＝∠，AN＝AD，∴△AFN≌△AED（SAS），

∴∠F＝∠AED，即∠F＝∠4．∵∠ABC＞∠F，∴∠ABC＞∠AED，

过D作DM∥BC，过点C作CM∥AB，连结CM，

则四边形DBCM平行四边形，∴∠DMC＝∠ABC，CM＝BD，DM=BC，

∵BD＝CE，∴CM＝CE，∴∠CME＝∠CEM．∵∠DMC＝∠ABC＞∠AED，

∴∠DMC＋∠CDE＞∠AED＋∠CEM，即∠DME＞∠DEM，

∴DE＞DM，

∴DE＞BC.