Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，点M、N分别在线段DA、BA的延长线上，且BD=BN=DM，连接BM、DN并延长交于点P．

求证：∠P=90°﹣∠C；

Answer 1

【答案】证明见解析.

【解析】首先过点B作BF⊥PD于点F，过点D作DG⊥BP于点G，BF与DG交于点H，由BD=BN=DM，可得BF与DG是∠DBN、∠MDB的平分线，又由四边形内角和为360°，可得∠P+∠FHG=180°，继而可得∠DHB=∠FHG=180°-∠P=90°+∠C，则可证得结论.

证明：过点B作BF⊥PD于点F，过点D作DG⊥BP于点G，BF与DG交于点H，

∴∠FHG+∠P=180°，

∴∠DHB+∠P=180°，

∴∠DHB=180°﹣∠P，

∵BD=BN=DM，

∴BF与DG是∠DBN、∠MDB的平分线，

∴由四边形内角和为360°，可得∠P+∠FHG=180°，

∵∠DHB=180°﹣（∠GDB+∠FBD）=180°﹣（180°﹣∠DAB）=90°﹣∠DAB，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠DAB=∠C，

∴∠DHB=90°﹣∠C，

∵∠DHB=180°﹣∠P，

∴180°﹣∠P=90°+∠C，

∴∠P=90°﹣∠C；