Question

【题目】如图，AB是⊙O的一条弦，C是⊙O上一动点且∠ACB=45°，E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于点G，H．若⊙O的半径为2，则GE+FH的最大值为 ．

Answer 1

【答案】4﹣
【解析】解：连接OA，OB，
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=90°．
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB=2 ，
当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．
∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF= AB= ，
∴GE+FH=GH﹣EF=4﹣ ，
故答案为：4﹣ ．

接OA，OB，根据圆周角定理可得出∠AOB=90°，故△AOB是等腰直角三角形．由点E、F分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理得出EF= AB= 为定值，则GE+FH=GH﹣EF=GH﹣ ，所以当GH取最大值时，GE+FH有最大值．而直径是圆中最长的弦，故当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值，问题得解．