Question

【题目】如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．

(1)求证：四边形AGPH是矩形；

(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)见解析.

【解析】

（1）根据“矩形的定义”证明结论；

（2）连结AP．当AP⊥BC时AP最短，结合矩形的两对角线相等和面积法来求GH的值．

（1）证明∵AC=9AB=12BC=15，

∴AC2=81，AB2=144，BC2=225，

∴AC2+AB2=BC2，

∴∠A=90°．

∵PG⊥AC，PH⊥AB，

∴∠AGP=∠AHP=90°，

∴四边形AGPH是矩形；

（2）存在．理由如下：

连结AP．

∵四边形AGPH是矩形，

∴GH=AP．

∵当AP⊥BC时AP最短．

∴9×12=15AP．

∴AP=．