Question

【题目】在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,0),(3,0)，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD.

(1)求点C,D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC；
(2)在y轴上是否存在一点P,连接PA,PB,使S△PAB=S四边形ABDC?若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
(3)点P是直线BD上一个动点，连接PC、PO，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠OPC与∠PCD、∠POB的数量关系.

Answer 1

【答案】(1) C(0,2),D(4,2)，S四边形ABDC=8.
(2)存在.证明见解析.

(3) ①∠OPC=∠PCD+∠POB；
②∠OPC=∠POB∠PCD；

③∠OPC=∠PCD∠POB.

【解析】

（1）根据C、D两点在坐标系中的位置即可得出此两点坐标；判断出四边形ABDC是平行四边形，再求出其面积即可；
（2）设点P到AB的距离为h，则S△PAB=×AB×h=2h，由S△PAB=S四边形ABDC，得2h=8，求出h=4，即可得出点P的坐标；
（3）过点P作PQ∥AB，故可得出CD∥PQ，AB∥PQ，由平形线的性质即可得出结论．

(1)依题意,得C(0,2),D(4,2)，四边形ABDC是平行四边形，
∴S四边形ABDC=AB×OC=4×2=8；
(2)存在.理由如下：
设点P到AB的距离为h,则S△PAB=×AB×h=2h，
∵S△PAB=S四边形ABDC，
∴2h=8，
解得：h=4,
∴P(0,4)或(0,4)；
(3)过点P作PQ∥AB，交y轴于点Q，
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴CD∥PQ，
①点P在线段BD上，如图1所示：

∵CD∥PQ,AB∥PQ，
∴∠CPQ=∠PCD,∠OPQ=∠POB,
∴∠OPC=∠CPQ+∠OPQ=∠PCD+∠POB
②点P在BD延长线上，且在CD的上方时，
如图2所示：

∵CD∥PQ,AB∥PQ，
∴∠CPQ=∠PCD，∠OPQ=∠POB，
∴∠OPC=∠OPQ∠CPQ=∠POB∠PCD；
③点P在DB延长线上,且在AB的下方时,
如图3所示：

∵CD∥PQ,AB∥PQ，
∴∠CPQ=∠PCD，∠OPQ=∠POB，
∴∠OPC=∠CPQ∠OPQ=∠PCD∠POB.