Question

【题目】如图，△ABC.

（1）用直尺和圆规作∠A的平分线所在的直线和边BC的垂直平分线（要求：不写作法，保留画图痕迹）；

（2）设（1）中的直线和直线交于点P，过点P作PE⊥AB，垂足为点E，过点P作PF⊥AC交AC的延长线于点F.请探究BE和CF的数量关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：

（1）如图1，用“尺规作图”作出∠ABC的角平分线，再反向延长即可得到；再用“尺规作图”作出BC的垂直平分线即可；

（2）如图2，连接PB、PC，由题意易证△PBE≌△PCF，从而可得BE=CF.

试题解析：

（1）如图1，图中直线和直线为题中所求直线；

（2）如图2，连接PB、PC，

∵AP平分∠BAC，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，

∴PE=PF，∠PEB=∠PFC=90°，

∵垂直平分BC，点P在上，

∴PB=PC，

∴△PBE≌△PCF，

∴BE=CF.