Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1厘米，AB=3厘米，BC=5厘米，动点P从点B出发以1厘米/秒的速度沿BC方向运动，动点Q从点C出发以2厘米/秒的速度沿CD方向运动，P，Q两点同时出发，当点Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）求线段CD的长。
（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？
（3）伴随P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l．
①t为何值时，l经过点C？
②求当l经过点D时t的值，并求出此时刻线段PQ的长。

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，作DE⊥BC于E，

∵AD∥BC，∠A=90°，

∴四边形ABED为矩形，

∴BE=AD=1，DE=AB=3，

∴EC=BC﹣BE=4，

在Rt△DEC中，DE2+EC2=DC2，

∴CD==5厘米；

（2）

解：∵点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒，运动时间为t秒，

∴BP=t厘米，PC=（5﹣t）厘米，CQ=2t厘米，QD=（5﹣2t）厘米，

且0＜t≤2.5，

作QH⊥BC于点H，

∴DE∥QH，

∴∠DEC=∠QHC，

∵∠C=∠C，

∴△DEC∽△QHC，

∴=，

∴=，

∴QH=t，

∴==(5-t)=-，

S四边形ABCD=(AD+BC)AB=(1+5)×3=9，

分两种情况讨论：

①当S△PQC：S四边形ABCD=1：3时，-，

即t2﹣5t+5=0，

解得：t1=,t2=（舍去）；

②S△PQC：S四边形ABCD=2：3时，-，

即t2﹣5t+10=0，

∵△＜0，

∴方程无解，

∴当t为秒时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分；

（3）

解：如图2，

①当PQ的垂直平分线l经过点C时，可知PC=QC，

∴5﹣t=2t，

∴3t=5，

∴t=，

∴当t=秒时，直线l经过点C

②如图3，

当PQ的垂直平分线l经过点D时，

可知DQ=DP，

连接DP，则在Rt△DEP中，DP2=DE2+EP2，

∴DQ2=DE2+EP2，

∴（5﹣2t）2=32+（t﹣1）2，

∴t1=1，t2=5（舍去），

∴BP=1厘米，

∴当t=1秒时，直线l经过点D，此时点P与点E重合；

如图4，连接FQ，

∵直线l是△DPQ的对称轴，

∴△DEF≌△DQF，∠DQF=90°，EF=QF，

设EF=x厘米，则QF=x厘米，FC=（4﹣x）厘米，

在Rt△FQC中，FQ2+QC2=FC2，

x2+22=（4﹣x）2，

∴x=，

∴EF=厘米，

在Rt△DEF中，DE2+EF2=DF2，

∴32+()2=DF2，

∴DF=厘米，

在Rt△DEF中，EG⊥DF，

∴==，

∴EG=，

∴EG=厘米，

∴PQ=2EG=厘米．

【解析】（1）作DE⊥BC于E，根据勾股定理即可求解；
（2）线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分，分两种情况进行求解；
（3）①当PQ的垂直平分线经过点C进行分析解答；
②当PQ的垂直平分线l经过点D时进行分析解答．
此题考查了梯形中动点问题，用到了勾股定理，垂直平分线定理等，注意分情况讨论。