Question

【题目】已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点D

（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标。
（2）连接AC，CD，BD，BC，设△AOC，△BOC，△BCD的面积分别为S1 ， S2和S3 ， 用等式表示S1 ， S2 ， S3之间的数量关系，并说明理由
（3）假设存在，设点M的坐标为（m，0），表示出MA的长，根据MN∥BC，得到比例式求出AN，根据△AMN∽△ACM，得到比例式求出m，得到点M的坐标，求出BC的解析式，根据MN∥BC，设直线MN的解析式，求解即可

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴，

解得．

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3，

y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴点D的坐标为：（1，﹣4）

（2）

解：S1+S3=S2，

过点D作DE⊥x轴于点E，DF⊥y轴于F，

由题意得，CD=，BD=，BC=，

CD2+BC2=BD2，

∴△BCD是直角三角形，

S1=×OA×OC=，

S2=×OB×OC=

S3=×CD×BC=3，

∴S1+S3=S2

（3）

解：存在点M使∠AMN=∠ACM，

设点M的坐标为（m，0），

∵﹣1＜m＜3，

∴MA=m+1，AC=，

∵MN∥BC，

∴=，即=，

解得，AN=（m+1），

∵∠AMN=∠ACM，∠MAN=∠CAM，

∴△AMN∽△ACM，

∴=，即（m+1）2=（m+1），

解得，m1=，m2=﹣1（舍去），

∴点M的坐标为（，0），

设BC的解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，﹣3）代入得，

，解得，

则BC的解析式为y=x﹣3，又MN∥BC，

∴设直线MN的解析式为y=x+b，把点M的坐标为（，0）代入得，

b=﹣，

∴直线MN的解析式为y=x﹣．

【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，用配方法把一般式化为顶点式求出点D的坐标；
（2）根据点的坐标求出△AOC，△BOC的面积，利用勾股定理的逆定理判断△BCD为直角三角形，求出其面积，计算即可得到答案；
（3）假设存在，设点M的坐标为（m，0），表示出MA的长，根据MN∥BC，得到比例式求出AN，根据△AMN∽△ACM，得到比例式求出m，得到点M的坐标，求出BC的解析式，根据MN∥BC，设直线MN的解析式，求解即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的性质的相关知识，掌握对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．