Question

【题目】正方形ABCD的边长为6cm，点E、M分别是线段BD、AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N．
（1）如图1，若点M与点D重合，求证：AF=MN；

（2）如图2，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以 cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为t s．

①设BF=y cm，求y关于t的函数表达式；
②当BN=2AN时，连接FN，求FN的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四边形ABCD 是正方形，

∴AD=AB，∠BAD=90°，

∵MN⊥AF，

∴∠AHM=90°，

∴∠BAF+∠MAH=∠MAH+∠AMH=90°，

∴∠BAF=∠AMH，

在△AMN与△ABF中， ，

∴△AMN≌△ABF，

∴AF=MN

（2）

解：①∵AB=AD=6，

∴BD=6 ，

由题意得，DM=t，BE= t，

∴AM=6﹣t，DE=6 ﹣ t，

∵AD∥BC，

∴△ADE∽△FBE，

∴ ，即 ，

∴y= ；

②∵BN=2AN，

∴AN=2，BN=4，

由（1）证得∠BAF=∠AMN，∵∠ABF=∠MAN=90°，

∴△ABF∽△AMN，

∴ = ，即 = ，

∴BF= ，

由①求得BF= ，

∴ = ，

∴t=2，

∴BF=3，

∴FN= =5

【解析】（1）根据四边形的性质得到AD=AB，∠BAD=90°，由垂直的定义得到∠AHM=90°，由余角的性质得到∠BAF=∠AMH，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）①根据勾股定理得到BD=6 ，由题意得，DM=t，BE= t，求得AM=6﹣t，DE=6 ﹣ t，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；②根据已知条件得到AN=2，BN=4，根据相似三角形的性质得到BF= ，由①求得BF= ，得方程 = ，于是得到结论．
【考点精析】掌握全等三角形的性质和勾股定理的概念是解答本题的根本，需要知道全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．