Question

【题目】如图所示，在长方体中，为平面直角坐标系的原点，，两点的坐标分别为，，点在第一象限.

（1） 写出点坐标；

（2） 若过点的直线，且把分为:两部分，求出点的坐标；

（3） 在（2）的条件下，求出四边形的面积；

（4） 若点是射线上的点，请直接写出，之间的数量关系.

Answer 1

【答案】(1) 点B的坐标为（3，5）；(2) 点D的坐标为（3，4）或（3，1）；(3) 或9;(4) ∠APB=∠CBP+∠OAP或∠APB=∠CBP-∠OAP.

【解析】

（1）根据矩形的性质求出点B的横坐标与纵坐标即可得解；

（2）分AD是4份和1份两种情况讨论求出AD的长，从而得到点D的坐标；

（3）根据梯形的面积公式列式计算即可得解．

（4）分点P在原点上方和在原点下方两种情况求解：连接PB，PA，过点P作PE∥OA，根据平行线的性质可求得结论.

（1）∵A，C两点的坐标分别为（3，0），（0，5），

∴点B的横坐标为3，纵坐标为5，

∴点B的坐标为（3，5）；

（2）如图，

若AD为4份，则AD=5×=4，

此时点D的坐标为（3，4），

若AD为1份，则AD=5×=1，

此时点D的坐标为（3，1），

综上所述，点D的坐标为（3，4）或（3，1）；

（3）AD=4时，四边形OADC的面积=（4+5）×3=，

AD=1时，四边形OADC的面积=（1+5）×3=9，

综上所述，四边形OADC的面积为或9．

（4）①当点P在原点上方时，连接PB，PA，过点P作PE∥OA，交AB于点E，如图，

∵四边形OABC是矩形，

∴PE∥BC，

∴∠CBP=∠BPE，∠OAP=∠APE，

∵∠BPE+∠APE=∠CBP+∠OAP，即∠APB=∠CBP+∠OAP.

②当点P在原点下方时，连接PB，PA，过点P作PE∥OA，如图，

∵四边形OABC是矩形，

∴PE∥BC，

∴∠CBP=∠BPE，∠OAP=∠APE，

∵∠APB=∠BPE-∠APE，

∴∠APB=∠CBP-∠OAP.