Question

【题目】已知：二次函数，当时，函数有最大值5.

（1）求此二次函数图象与坐标轴的交点；

（2）将函数图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，得到的新图象与直线恒有四个交点，从左到右，四个交点依次记为，当以为直径的圆与轴相切时，求的值.

（3）若点是(2)中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若关于m的一元二次方程 恒有实数根时，求实数k的最大值.

Answer 1

【答案】(1) 抛物线与轴交于；（2）；（3）实数k的最大值为3.

【解析】分析：（1）求出对称轴x=1，结合a>0,可知当时，随增大而增大，所以x=4时，y=5,把以x=4时，y=5代入解析式求出a的值，然后解方程即可；

（2）由折叠部分对应的解析式：，可知，解方程，求出B、C的坐标，然后根据列方程即可求出n的值；

（3）根据△≥0求出k的取值范围，即，再结合，即可求得实数k的最大值.

详解：(1) 抛物线的对称轴为：.

，抛物线开口向上，大致图象如图所示.

当时，随增大而增大；

由已知：当时，函数有最大值5.

当时， ，

.

令 得 ，令 得，

抛物线与轴交于，

抛物线与轴交于.

（2）,

其折叠得到的部分对应的解析式为：，其顶点为

图象与直线恒有四个交点，

由，解得,

，.

当以为直径的圆与轴相切时，.

即：，

,

,

得， ，

.

（另法：∵BC直径，且⊙F与x轴相切，

∴FC=y=n,

∵对称轴为直线x=1,

∴F(1,n),则C（1+n,n),

又∵C在上，

∴，

得，

，

.

（3）若关于m的一元二次方程 恒有实数根，则须

恒成立，

即恒成立，即恒成立.

点是(2)中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，

，

，（ 取 值之下限）

实数k的最大值为3.