Question

【题目】已知，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.

(1)如图①，连接AF，CE，试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长；

(2)如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）AF＝5 cm；（2）t＝.

【解析】试题分析：（1）根据已知条件易证OA＝OC，OE＝OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判定四边形AFCE为平行四边形；再由EF⊥AC，根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，即可判定四边形AFCE为菱形；设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理列出方程，解方程求得x的值，即可求得AF的长；（2）当P点在AF上，Q点在CD上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上，Q点在DE或CE上时，也不可能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，如图，连接AP，CQ，则以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，此时PC＝QA，用t表示出PC、QA的长，列出方程求t即可.

试题解析：

(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC.

∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE.

∵EF垂直平分AC，垂足为O，

∴OA＝OC.

∴△AOE≌△COF.

∴OE＝OF.

∴四边形AFCE为平行四边形．

又∵EF⊥AC，

∴四边形AFCE为菱形．

设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm，

在Rt△ABF中，AB＝4 cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.

∴AF＝5 cm.

(2)显然当P点在AF上，Q点在CD上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上，Q点在DE或CE上时，也不可能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，如图，连接AP，CQ，则以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，此时PC＝QA.∵点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，

∴PC＝5t cm，QA＝(12－4t)cm.∴5t＝12－4t，解得t＝.

∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝.