Question

【题目】如图，在△ABC中，CD是中线，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E，F分别为AB，AC上的动点（均不与端点重合），且CE⊥BF，垂足为H，BF与CD相交于G．

（1）求证：AE＝CG；

（2）当线段AE，CF之间满足什么数量关系时，BF为△ABC的角平分线？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当AE＝CF时，BF为△ABC的角平分线．理由见解析.

【解析】试题分析：

（1）由等腰直角三角形的性质可证得∠A=∠BCG=45°，再由∠ACE+∠BCE=90°，∠CBG+∠BCE=90°，得到∠ACE=∠CBG，这样结合AC=BC，由“ASA”可证△ACE≌△CBG就可得到结论了；

（2）当AE=CF时，BF是△ABC的角平分线；由AE=CF，AE=CG，可得CF=CG，这样∠CFG=∠CGF，进一步就可证得∠CBF=∠DBF，从而可得BF平分∠ABC.

试题解析：

（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中线，

∴∠ACE＋∠BCE＝90°，∠A＝∠ABC＝∠BCG＝45°．

∵CE⊥BF，垂足为H，∴∠BHC＝90°．

∴∠CBG＋∠BCE＝90°．

∴∠ACE＝∠CBG．

在△ACE和△CBG中：

∴△ACE≌△CBG．

∴AE＝CG．

（2）当AE＝CF时，BF为△ABC的角平分线．

理由如下：∵AE＝CF，AE＝CG．

∴CF＝CG．

∴∠CFG＝∠CGF．

∵∠CFG＝∠A＋∠ABF，∠CGF＝∠BCG＋∠CBF，∠A＝∠BCG，

∴∠ABF＝∠CBF．即BF为△ABC的角平分线．