Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分线．

（1）求证：△BCD是等腰三角形；

（2）△BCD的周长是a，BC=b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）a﹣b+b+b=a+b．

【解析】试题分析:（1）先由AB=AC，∠A=36°，可求∠B=∠ACB==72°，然后由DE是AC的垂直平分线，可得AD=DC，进而可得∠ACD=∠A=36°，然后根据外角的性质可求：∠CDB=∠ACD+∠A=72°，根据等角对等边可得：CD=CB，进而可证△BCD是等腰三角形；

（2）由（1）知：AD=CD=CB=b，由△BCD的周长是a，可得AB=a﹣b，由AB=AC，可得AC=a﹣b，进而得到△ACD的周长=AC+AD+CD=a﹣b+b+b=a+b．

（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠B=∠ACB==72°，

∵DE是AC的垂直平分线，

∴AD=DC，

∴∠ACD=∠A=36°，

∵∠CDB是△ADC的外角，

∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，

∴∠B=∠CDB，

∴CB=CD，

∴△BCD是等腰三角形；

（2）解：∵AD=CD=CB=b，△BCD的周长是a，

∴AB=a﹣b，

∵AB=AC，

∴AC=a﹣b，

∴△ACD的周长=AC+AD+CD=a﹣b+b+b=a+b．

点睛:此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．