Question

【题目】如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C．

其中正确的是（　　）

A.①②③B.①③④C.①②③④D.①②④

Answer 1

【答案】C

【解析】

①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGH，证明结论正确；
②根据角平分线的定义和三角形外角的性质,证明结论正确；
③证明∠DBE=∠BAC-∠C，根据①的结论，证明结论正确；
④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．

①∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F=90°，
∵FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE=90°，
∵∠FGD=∠BGH，
∴∠DBE=∠F，
①正确；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∠BEF=∠CBE+∠C，
∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，
∠BAF=∠ABC+∠C，
∴2∠BEF=∠BAF+∠C，
②正确；
③∠ABD=90°-∠BAC，
∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC，
∵∠CBD=90°-∠C，
∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE，
由①得，∠DBE=∠F，
∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE，
∴∠F=（∠BAC﹣∠C）
③正确；
④∵∠AEB=∠EBC+∠C，
∵∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD=∠FEB，
∴∠BGH=∠ABE+∠C，
④正确，

故选C.