Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，点在原点的左则，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．

求这个二次函数的表达式；

求出四边形的面积最大时的点坐标和四边形的最大面积；

连结、，在同一平面内把沿轴翻折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；

在直线找一点，使得为等腰三角形，请直接写出点坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，四边形的面积取最大值，最大值为；（3）存在点，使四边形为菱形；（4）点坐标为、、或．

【解析】

（1）直接代入B、C两点坐标即可求解解析式；

（2）过作轴，交于，设，求解直线BC解析式为，则可得，观察图形，利用即可求解；

（3）取的中点，过作的垂线交抛物线于，在的延长线上取，连接、，所得四边形即为菱形；

（4）设点的坐标为，则利用已知点C和O，写出用m表示的OC、PC、PO的表达式，再分别按、和三种情况进行讨论，分别求解m的值即可.

解：将点、代入中，

得：，解得：，

∴该二次函数的表达式为．

∵点，点，

∴直线．

过作轴，交于，如图所示．

设，则点，

当时，，

解得：，，

∴点．

则，

，

，

，

∵，，

∴当时，四边形的面积取最大值，最大值为．

取的中点，过作的垂线交抛物线于，在的延长线上取，连接、，如图所示．

∵，，，

∴四边形为菱形．

当，则有，

解得：（舍去），，

∴存在点，使四边形为菱形．

设点的坐标为，

∵，，

∴，，．

为等腰三角形分三种情况：

①当时，，

解得：，

此时点的坐标为或；

②当时，，

解得：或（舍去），

此时点的坐标为；

③当时，有，

解得：，

此时点的坐标为．

综上可知：点坐标为、、或．