Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣3，0）、B（5，0）、C（0，5）三点，O为坐标原点

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若把抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移个单位长度，再向右平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，求n的取值范围；

（3）设点P在y轴上，且满足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的长．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2+x+5；(2)0＜n＜3；(3)PC的长为7或17．

【解析】

试题分析：（1）根据A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式即可；（2）可先求得抛物线的顶点坐标，再利用坐标平移，可得平移后的坐标为（1+n，1），再由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式，可求得y=1时，对应的x的值，从而可求得n的取值范围；（3）当点P在y轴负半轴上和在y轴正半轴上两种情况，根据这两种情况分别求得PC的长即可.

试题解析：（1）把A、B、C三点的坐标代入函数解析式可得，

解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+5；

（2）∵y=﹣x2+x+5，

∴抛物线顶点坐标为（1，），

∴当抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移个单位长度，再向右平移n（n＞0）个单位长度后，得到的新抛物线的顶点M坐标为（1+n，1），

设直线BC解析式为y=kx+m，把B、C两点坐标代入可得，解得，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+5，

令y=1，代入可得1=﹣x+5，解得x=4，

∵新抛物线的顶点M在△ABC内，

∴1+n＜4，且n＞0，解得0＜n＜3，

即n的取值范围为0＜n＜3；

（3）当点P在y轴负半轴上时，如图1，过P作PD⊥AC，交AC的延长线于点D，

由题意可知OB=OC=5，

∴∠CBA=45°，

∴∠PAD=∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°，

∴AD=PD，

在Rt△OAC中，OA=3，OC=5，可求得AC=，

设PD=AD=m，则CD=AC+AD=+m，

∵∠ACO=∠PCD，∠COA=∠PDC，

∴△COA∽△CDP，

∴，即，

解得m=，PC=17；

可求得PO=PC﹣OC=17﹣5=12，

如图2，在y轴正半轴上截取OP′=OP=12，连接AP′，

则∠OP′A=∠OPA，

∴∠OP′A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA，

∴P′也满足题目条件，此时P′C=OP′﹣OC=12﹣5=7，

综上可知PC的长为7或17．