Question

【题目】已知，点M是二次函数y=ax2（a＞0）图象上的一点，点F的坐标为（0，），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为．

（1）求a的值；

（2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；

（3）当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF．

Answer 1

【答案】（1）y=x2；（2）M1（，），Q1（，），M2（﹣，），Q2（﹣，）；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）设Q（m，），F（0，），由QO=QF，根据勾股定理列出方程即可求得a值；（2）设M（t，t2），Q（m，），根据KOM=KOQ，求出t、m的关系，根据QO=QM列出方程即可解决问题．（3）设M（n，n2）（n＞0），则N（n，0），F（0，），利用勾股定理求出MF即可解决问题．

试题解析：（1）∵圆心O的纵坐标为，

∴设Q（m，），F（0，），

∵QO=QF，

∴m2+（）2=m2+（﹣）2，

∴a=1，

∴抛物线为y=x2．

（2）∵M在抛物线上，设M（t，t2），Q（m，），

∵O、Q、M在同一直线上，

∴KOM=KOQ，

∴=，

∴m=，

∵QO=QM，

∴m2+（）2=（m﹣t）2=（﹣t2）2，

整理得到：﹣t2+t4+t2﹣2mt=0，

∴4t4+3t2﹣1=0，

∴（t2+1）（4t2﹣1）=0，

∴t1=，t2=﹣，

当t1=时，m1=，

当t2=﹣时，m2=﹣．

∴M1（，），Q1（，），M2（﹣，），Q2（﹣，）．

（3）设M（n，n2）（n＞0），

∴N（n，0），F（0，），

∴MF===n2+，MN+OF=n2+，

∴MF=MN+OF．