Question

【题目】在△ABC 中，AB＝AC，D 是直线 BC 上一点（不与点 B、C 重合），以 AD 为一边在 AD的右侧作△ADE，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接 CE.

（1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，求证:△ABD≌△ACE；

（2）如图 2，当点 D 在线段 BC 上时，如果∠BAC＝90°，求∠BCE 的度数；

（3）如图 3，若∠BAC＝α，∠BCE＝β.点 D 在线段 CB 的延长线上时，则α、β之间有怎样 的数量关系？并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）90；（3）

【解析】（1）首先求出∠BAD＝∠CAE，再利用SAS得出△ABD≌△ACE即可；

（2）由ABAC,BAC90，推出∠ABDACB45 ，由ABD≌ACE，得到∠ABDACE，等量代换得到∠ABDACE，即可求出∠BCE；

（3）当D在CB的延长线上时，α＝β，求出∠BAD＝∠CAE．推出△ADB和△AEC，推出∠BAC＝∠BCE．根据三角形外角性质求出即可．

（1）∵∠DAE=∠BAC ，

∠BAD=∠EAC

∵在△ABD和△ACE中，

AB AC，∠BAD＝∠CAE，AD=AE，

ABD≌ACE SAS ；

（2）∵AB AC,BAC 90 ，

∠ABDACB 45 ，

∵ABD≌ACE ，

∠ABDACE，

∠ABDACE，

∠BCEACDACE90，

（3）当点D在线段CB的延长线上时，α＝β．

理由：∵∠DAE＝∠BAC，

∴∠DAB＝∠EAC，

∵在△ADB和△AEC中，

AD＝AE，∠DAB＝∠EAC，AB＝AC，

∴△ADB≌△AEC（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE，

∵∠ABD＝∠BAC＋∠ACB，∠ACE＝∠BCE＋∠ACB，

∴∠BAC＝∠BCE，

即α＝β．