Question

【题目】已知等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°．点D从点B出发沿射线BC移动，以AD为腰作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°．连接CE．

（1）如图，求证：△ACE≌△ABD；

（2）点D运动时，∠BCE的度数是否发生变化？若不变化，求它的度数；若变化，说明理由；

（3）若AC=，当CD=1时，请求出DE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）90°；（3）DE的长为或．

【解析】试题分析：（1）由△ABC和△ADE都是等腰Rt△可得，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，则有∠BAD=∠CAE，从而可证到△ACE≌△ABD；

（2）由△ACE≌△ABD可得∠ACE=∠ABD=45°，从而得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°；

（3）可分点D在线段BC上时（如图1）和点D在线段BC延长线上时（如图2）两种情况讨论，在Rt△ABC中运用勾股定理可求出BC，从而得到BD，由△ACE≌△ABD可得CE=BD，在Rt△DCE中运用勾股定理就可求出DE．

试题解析：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰Rt△，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ACE和△ABD中，

，

∴△ACE≌△ABD；

（2）∵△ACE≌△ABD，

∴∠ACE=∠ABD=45°，

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+45°=90°；

∴∠BCE的度数不变，为90°；

（3）①点D在线段BC上时，如图1，

∵AB=AC=，∠BAC=90°，

∴BC=，

∵CD=1，

∴BD=﹣1，

∵△ACE≌△ABD，

∴CE=BD=﹣1．

∵∠BCE=90°，

∴DE=；

②点D在线段BC延长线上时，如图2，

∵AB=AC=，∠BAC=90°，

∴BC=，

∵CD=1，

∴BD=+1，

∵△ACE≌△ABD，

∴CE=BD=+1，

∵∠BCE=90°，

∴∠ECD=90°，

∴DE=，

综上所述：DE的长为或．