Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圆．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AC=8，tan∠BAC= ，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）解：连结OP、OA，OP交AD于E，如图，

∵PA=PD，

∴弧AP=弧DP，

∴OP⊥AD，AE=DE，

∴∠1+∠OPA=90°，

∵OP=OA，

∴∠OAP=∠OPA，

∴∠1+∠OAP=90°，

∵四边形ABCD为菱形，

∴∠1=∠2，

∴∠2+∠OAP=90°，

∴OA⊥AB，

∴直线AB与⊙O相切；

（2）解：连结BD，交AC于点F，如图，

∵四边形ABCD为菱形，

∴DB与AC互相垂直平分，

∵AC=8，tan∠BAC= ，

∴AF=4，tan∠DAC= = ，

∴DF=2 ，

∴AD= =2 ，

∴AE= ，

在Rt△PAE中，tan∠1= = ，

∴PE= ，

设⊙O的半径为R，则OE=R﹣ ，OA=R，

在Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2，

∴R2=（R﹣ ）2+（ ）2，

∴R= ，

即⊙O的半径为 ．

【解析】（1）连结OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根据垂径定理的推理得OP⊥AD，AE=DE，则∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+∠OAP=90°，再根据菱形的性质得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根据切线的判定定理得到直线AB与⊙O相切；（2）连结BD，交AC于点F，根据菱形的性质得DB与AC互相垂直平分，则AF=4，tan∠DAC= ，得到DF=2 ，根据勾股定理得到AD= =2 ，求得AE= ，设⊙O的半径为R，则OE=R﹣ ，OA=R，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【考点精析】本题主要考查了菱形的性质和解直角三角形的相关知识点，需要掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)才能正确解答此题．