Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E、与DC交于点F，且点F为边DC的中点，∠ADC的平分线交AB于点M，交AE于点N，连接DE

(1) 求证：BC=CE

(2) 若DM=2，求DE的长

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）DE=.

【解析】

（1）利用平行四边形ABCD的性质得出AD=BC，AD∥BC，进一步证得△ADF≌△ECF，得出AD=CE，证得结论；

（2）连接FM，证得四边形AMFD是菱形，得出AN=NF，求得M是AB的中点，利用勾股定理求得AN，进一步得出NE，进一步利用勾股定理求得DE的长即可．

（1）证明：∵平行四边形ABCD

∴AD=BC,AD//BC

∴∠DAF=∠CEF,∠ADF=∠ECF

∵点F为CD中点

∴DF=CF

∴△ADF≌△ECF(AAS)

∴AD=CE

∴BC=CE.

（2）如图，连接FM，

∵DM平分∠ADF，AF平分∠DAB，AB∥DC，AD∥BC，

∴∠DAF=∠BAF=DFN，∠ADM=∠FDM=∠AMD，

∴AD=DF=AM，

∴四边形AMFD是菱形，

∴AF⊥DM，DN=MN=DM=1，

又∵DF=FC，DC=AB=6，

∴AM=3，

∴AN=，

∴AF=2AN=4，

∵AF=EF，

∴NE=AE-AN=6，

∴DE=．