Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），如果点Q（x，y′）的纵坐标满足y′＝，那么称点Q为点P的“关联点”．

（1）请直接写出点（3，5）的“关联点”的坐标　 　；

（2）如果点P在函数y＝x﹣2的图象上，其“关联点”Q与点P重合，求点P的坐标；

（3）如果点M（m，n）的“关联点”N在函数y＝2x2的图象上，当0≤m≤2时，求线段MN的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（3，2）；（2）（4，2）；（3）当m≥n时，线段MN的最大值是14；当m＜n时，线段MN的最大值是2．

【解析】

（1）根据关联点的定义，可得答案；

（2）根据关联点的定义，可得Q点的坐标，根据点在函数图象上，可得方程，根据解方程，可得答案；

（3）根据关联点的定义，可得N的坐标，根据平行于y轴的直线上两点间的距离，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案.

解：（1）∵3＜5，根据关联点的定义，y′＝5﹣3＝2，

∴点（3，5）的“关联点”的坐标（3，2），

故答案为：（3，2）；

（2）∵点P在函数y＝x﹣2的图象上，

∴点P的坐标为（x，x﹣2）．

∵x＞x﹣2，根据关联点的定义，点Q的坐标为（x，2）．

又∵点P与点Q重合，

∴x﹣2＝2，解得x＝4，

∴点P的坐标是（4，2）；

（3）点M（m，n）的“关联点”N，由关联点的定义，得

第一种情况：当m≥n时，点N的坐标为（m，m﹣n），

∵N在函数y＝2x2的图象上，

∴m﹣n＝2m2，n＝﹣2m2+m，即yM＝﹣2m2+m，yN＝2m2，

∴MN＝|yM﹣yN|＝|﹣4m2+m|，

①当0≤m≤，﹣4m2+m≥0，

MN＝﹣4m2+m＝﹣4（m﹣）2+，

∴当m＝时，线段MN的最大值是；

②当＜m≤2时，﹣4m2+m＜0，

MN＝4m2﹣m＝4（m﹣）2﹣，当m＝2时，线段MN的最大值是14；

第二种情况：当m＜n时，点N的坐标为（m，n﹣m），

∵N在函数y＝2x2的图象上，

∴n﹣m＝2m2，即n＝2m2+m，

∴yM＝2m2+m，yN＝2m2，

∴MN＝|yM﹣yN|＝|m|，

∵0≤m≤2，

∴MN＝m，

∴当m＝2时，线段MN的最大值是2；

综上所述：当m≥n时，线段MN的最大值是14；当m＜n时，线段MN的最大值是2．