Question

【题目】半径为1的球O内有一个内接正三棱柱，当正三棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是 ．

Answer 1

【答案】4π﹣3
【解析】解：如图所示，
设球心为O点，上下底面的中心分别为O1 ， O2 ．
设正三棱柱的底面边长与高分别为x，h．
则O2A= x，
在Rt△OAO2中， =1，
化为h2=4﹣ x2 ．
∵S侧=3xh，
∴S侧2=9x2h2=12x2（3﹣x2） =27．
当且仅当x= 时取等号，S侧=3 ．
∴球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是4π﹣3 ，
故答案为：4π﹣3 ．
如图所示，设球心为O点，上下底面的中心分别为O1 ， O2 ． 设正三棱柱的底面边长与高分别为x，h．可得O2A= x．在Rt△OAO2中，利用勾股定理可得 =1，由于S侧=3xh，可得S侧2=9x2h2=12x2（3﹣x2） ，即可得出．