Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，连接．

（）求证：是等边三角形．

（）点在线段的延长线上，连接，作的垂直平分线，垂足为点，并与轴交于点，分别连接、．

①如图，若，直接写出的度数．

②若点在线段的延长线上运动（与点不重合），的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数．

（）在（）的条件下，若点从点出发在的延长线上匀速运动，速度为每秒个单位长度，与交于点，设的面积为，的面积为，，运动时间为秒时．求关于的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①120°；②不变，120°；（）y= (t>0)．

【解析】试题分析：(1) 先求出A、B两点，再根据两点间坐标公式求得AB=BC=AC，则可证△ABC为等边三角形．

（2））①因为△ABC为等边三角形，CP=AC，DE是AP的中垂线，故C、D、E三点共线，进而求出四边形AEPC是菱形，可以求解；

②由于E在y轴上，即E在AC的垂直平分线上，所以EA=EC，故∠ECA=∠EAC，而E在AP的垂直平分线上，同理可求得EA=EP，即EC=EP=EA，那么∠ECP=∠EPC；由（1）知∠ACP=∠ECA+∠ECP=120°，那么∠EAC、∠EPC的度数和也是120°，由此可求得∠AEP=360°-240°=120°，即∠AEP的度数不变．

（3）由于S1、S2的面积无法直接求出，因此可求（S1﹣S2）这个整体的值，将其适当变形可得（S1+S△ACF）﹣（S2+S△ACF），即S1﹣S2的值可由△ACE和△ACP的面积差求得，过E作EM⊥PC于M，由（2）知△ECP是等腰三角形，则CM=PM=，在Rt△BEM中，∠EBM=30°，BM=6+，通过解直角三角形即可求得BE的长，从而可得到OE的长，到此，可根据三角形的面积公式表示出△ACE和△ACP的面积，从而求得S1﹣S2的表达式，由此得解．

试题解析：

（1）由一次函数y=x+3，

则A（﹣3，0），B（0，3），C（3，0）．

再由两点间距离公式可得出：AB=BC=AC=6，

∴△ABC为等边三角形．

（2）①，连接CD，由题意得，C、D、E三点共线，

∵E点在y轴上，且A、C关于y轴对称，

∴E点在线段AC的垂直平分线上，

即EA=EC；

∵E点在线段AP的垂直平分线上，则EA=EP，

∴EA=EP=EC，

∴∠EAC=∠ECA，∠ECP=∠EPC；

∵∠BCA=60°，即∠ACP=∠ECA+∠ECP=120°，

∴∠EAC+∠EPC=120°，即∠EAC+∠EPC+∠ACP=240°，

∴∠AEP=120°．

②连接EC，

∵E点在y轴上，且A、C关于y轴对称，

∴E点在线段AC的垂直平分线上，

即EA=EC；

∵E点在线段AP的垂直平分线上，则EA=EP，

∴EA=EP=EC，

∴∠EAC=∠ECA，∠ECP=∠EPC；

∵∠BCA=60°，即∠ACP=∠ECA+∠ECP=120°，

∴∠EAC+∠EPC=120°，即∠EAC+∠EPC+∠ACP=240°，

故∠AEP=360°﹣240°=120°，

∴∠AEP的度数不会发生变化，仍为120°．

（3）如图，过E作EM⊥BP于M、过A作AN⊥BP于N；

由（2）知：△CEP是等腰三角形，则有：

CM=MP=CP=；

∴BM=BC+CM=6+；

在Rt△BEM中，∠MBE=30°，则有：BE=BM=；

∴OE=BE﹣OB=﹣3=+t；

故S△AEC=ACOE=×6×（+t）=3+t，

S△ACP=PCAN=×t×3=t；

∵S△AEC=S1+S，S△ACP=S+S2，

∴S△AEC﹣S△ACP=S1+S﹣（S2+S）=S1﹣S2

=3+t﹣t=3﹣t，

即y=3﹣t．