Question

【题目】如图1，已知点B（0，9），点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形．

（1）求证：DE＝BO；

（2）如图2，当点D恰好落在BC上时．

①求点E的坐标；

②在x轴上是否存在点P，使△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由；

③如图3，点M是线段BC上的动点（点B，点C除外），过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH＋MG的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MH＋MG的值；若会变化，简要说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①E（6，9）；②存在，点P的坐标为（－3，0）或（9，0）；③不变化，MH＋MG＝9

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得到BC=CE，OC=CD，∠OCD=∠BCE=60°，求得∠OCB=∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）①由点B（0，9），得到OB=9，根据全等三角形的性质得到∠CDE=∠BOC=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEC=30°，求得，过E作EF⊥x轴于F，角三角形即可得到结论；

②存在，如图，当时，当CE=PE，根据等腰三角形的性质即可得到结论；③不会变化，连接EM，根据三角形的面积公式即可得到结论．

（1）∵△ODC和△EBC都是等边三角形

∴OC＝DC，BC＝CE，∠OCD＝∠BCE＝60°

∴∠BCE＋∠BCD＝∠OCD＋∠BCD

即∠ECD＝∠BCO

∴△DEC≌△OBC（SAS）

∴DE＝BO

（2）①∵点B（0，9），

∴OB=9，

由（1）知△BCO≌△ECD，

∴∠CDE=∠BOC=90°，

∴DE⊥BC，

∵△EBC是等边三角形，

∴∠DEC=30°，

∴∠OBC=∠DEC=30°，

∴，，

∴，

过E作EF⊥x轴于F，

∵∠DCO=∠BCE=60°，

∴∠ECF=60°，

∵，

∴，，

∵ ，

∴，

∴E（6，9）；

②存在，如图，

当时，

∵，

∴，，

∴；

当CE=PE，

∵∠ECP=60°，

∴△CPE是等边三角形，

∴P2，P3重合，

∴当△PEC为等腰三角形时，点P的坐标为（－3，0）或（9，0）；

③不会变化，如图，连接EM，

∵

∵BC=CE=BE，

∴GM+MH=DE=9，

∴MH+MG的值不会发生变化．