Question

【题目】一副直角三角板（其中一个三角板的内角是45°,45°,90°,另一个是30°,60°,90°）

（1）如图①放置，AB⊥AD,∠CAE=_______，BC与AD的位置关系是__________；

（2）在（1）的基础上，再拿一个30°,60°,90°的直角三角板，如图②放置，将AC′边和AD边重合， AE是∠CAB′的角平分线吗，如果是，请加以说明，如果不是，请说明理由．

（3）根据（1）（2）的计算，请解决下列问题：

如图③∠BAD=90°，∠BAC=∠FAD= （是锐角），将一个45°,45°,90°直角三角板的一直角边与AD边重合，锐角顶点A与∠BAD的顶点重合，AE是∠CAF的角平分线吗？如果是，请加以说明，如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)15°,相互平行；(2)见解析；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）∠CAE=∠BAD－∠BAC－∠EAD=15°，因为AB⊥AD，AB⊥BC，

所以BC与AD相互平行；（2）先计算出∠EAB′=∠EAD－∠B′AC′=15°，由（1）可得∠EAB′=∠CAE，所以AE是∠CAB′的角平分线；（3）分别计算出∠CAE=∠FAE=45°－α，所以AE是∠CAF的角平分线．

试题解析：

（1）∵AB⊥AD，

∴∠BAD=90°，

∴∠CAE=90°－45°－30°=15°，

∵AB⊥AD，AB⊥BC，

∴BC与AD相互平行；

（2）AE是∠CAB′的角平分线．

理由如下：如图②，∵∠EAD=45°，∠B′AC′=30°，

∴∠EAB′=∠EAD－∠B′AC′=15°．

又由（1）知，∠CAE=15°，

∴∠CAE=∠EAB′，即AE是∠CAB′的角平分线；

（3）AE是∠CAF的角平分线．

理由如下：如图③，∵∠EAD=45°，∠BAD=90°，

∴∠BAE=∠DAE=45°，

又∵∠BAC=∠FAD=α，

∴∠BAE－∠BAC=∠DAE－∠FAD，

∴∠CAE=∠FAE，即AE是∠CAF的角平分线．