Question

【题目】如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交BC于G．
（1）求证：BG=DE；
（2）若点G为CD的中点，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BF⊥DE，

∴∠GFD=90°，

∵∠BCG=90°，∠BGC=∠DGF，

∴∠CBG=∠CDE，

在△BCG与△DCE中，

∴△BCG≌△DCE（ASA），

∴BG=DE，

（2）解：设CG=1，

∵G为CD的中点，

∴GD=CG=1，

由（1）可知：△BCG≌△DCE（ASA），

∴CG=CE=1，

∴由勾股定理可知：DE=BG= ，

∵sin∠CDE= = ，

∴GF= ，

∵AB∥CG，

∴△ABH∽△CGH，

∴ = ，

∴BH= ，GH= ，

∴ =

【解析】（1）由于BF⊥DE，所以∠GFD=90°，从而可知∠CBG=∠CDE，根据全等三角形的判定即可证明△BCG≌△DCE，从而可知BG=DE；（2）设CG=1，从而知CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG= ，由易证△ABH∽△CGH，所以 ，从而可求出HG的长度，进而求出 的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正方形的性质的相关知识，掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形，以及对相似三角形的判定与性质的理解，了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．