Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、点C分别在y轴、x轴的正半轴上，OA，OC的长分别是方程x2-7x+12=0的两根（OA＜OC）．P为直线AB上一动点，直线PQ⊥OP交直线BC于点Q．

（1）求点B的坐标；

（2）当点P在线段AB上运动（不与A，B重合）时，设点P的横坐标为m，线段CQ的长度为l．求出l关于m的函数解析式；

（3）在坐标平面内是否存在点D，使以O、P、Q、D为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（4，3）；(2) ；（3）存在，D（3，-1）或（-3，7）.

【解析】

（1）通过解方程求出线段的长度，利用矩形的性质得到AB=4，BC=3，求得B（4，3）；

（2）因为点P在线段AB上，点P的横坐标为m，用m表示出AP的长度，利用相似三角形的性质列出比例式求出l关于m的函数解析式；

（3）如图，过点D作DE⊥OC于E，由以O、P、Q、D为顶点的四边形为正方形，得到OP=PQ=OD，通过三角形全等，对应边相等求得AP=m=1，再根据另一对三角形全等得到点D的坐标．

（1）解方程x2-7x+12=0得：x1=3，x2=4，

∴OA=3，OC=4，

∴A（0，3），C（4，0），

∵四边形OABC为矩形，

∴AB=4，BC=3，

∴B（4，3）；

（2）点P在线段AB上，点P的横坐标为m，

∴AP=m，

∵CQ=l，

∴BQ=3-l，

∵∠OAP=∠B=∠OPQ=90°，

∴∠APO+∠BPQ=∠APO+∠AOP=90°，

∴∠APO=∠BPQ，

∴△APO∽△BPQ，

∴，

即，

∴；

（3）存在，

如图，过点D作DE⊥OC于E，

∵四边形ODQP是正方形，

∴OP=PQ=OD，

在△AOP与△BPQ中，

，

∴△AOP≌△BPQ（AAS），

∴PB=OA=3，

∴AP=BP=1，

在△AOP与△OED中，

，

∴△AOP≌△OEP（AAS），

∴OE=AO=3，DE=AP=1，

∴D（3，-1）．

若点P在点B的右边，同理可得D（-3，7）

综上所述D（3，-1）或（-3，7）