Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．

（1）如图1，求证：AE=DF；

（2）如图2，若AB=2，过点M作 MG⊥EF交线段BC于点G，求证：△GEF是等腰直角三角形

（3）如图3，若AB=2，过点M作 MG⊥EF交线段BC的延长线于点G．判断△GEF的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）△GEF是等边三角形．证明见解析.

【解析】试题分析：（1）证明△AEM≌△DFM即可得；

（2）如图2，过点G作GH⊥AD于H，通过证明△AEM≌△HMG从而得出

ME=MG，∠EGM=45°，再由△AEM≌△DFM得ME=MF．从而得到△GEF是等腰直角三角形．

（3）如图3，△GEF是等边三角形．证明△AEM∽△HMG从而得．

由tan∠MEG=得到∠MEG=60°．　由△AEM≌△DFM得到ME=MF．再由MG⊥EF得GE=GF．

从而确定△GEF是等边三角形．

试题解析：（1）如图1,在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM=90°，∠AME=∠FMD．

∵M是AD的中点，∴AM=DM，

∴△AEM≌△DFM（ASA）．

∴AE=DF．

（2）如图2，过点G作GH⊥AD于H，

∴∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四边ABGH为矩形，∴∠AME+∠AEM=90°，

∵MG⊥EF，∴∠GME=90°，∴∠AME+∠GMH=90°，∴∠AEM=∠GMH．

∵AD=4，M是AD的中点，∴AM=2，

∵四边ABGH为矩形，∴AB=HG=2，∴AM=HG，∴△AEM≌△HMG（AAS）．

∴ME=MG，∴∠EGM=45°，

由（1）得△AEM≌△DFM，∴ME=MF．

∵MG⊥EF，∴GE=GF，∴∠EGF=2∠EGM=90°，∴△GEF是等腰直角三角形．

（3）如图3，△GEF是等边三角形．

过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，

∵∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四边形ABGH是矩形． ∴GH=AB=．

∵MG⊥EF，∴∠GME=90°．∴∠AME+∠GMH=90°．

∵∠AME+∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH．

又∵∠A=∠GHM=90°，∴△AEM∽△HMG．∴ ．

在Rt△GME中，∴tan∠MEG=．

∴∠MEG=60°．　由（1）得△AEM≌△DFM．∴ME=MF．∵MG⊥EF， ∴GE=GF．

∴△GEF是等边三角形．