Question

【题目】如图所示，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．

（1）求证：CM=CN；

（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3:1，求的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）MN=

【解析】试题分析：（1）由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，由四边形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，则可证得∠CMN=∠CNM，继而可得CM=CN；（2）首先过点N作NH⊥BC于点H，由△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，易得MC=3ND=3HC，然后设DN=x，由勾股定理，可求得MN的长，继而求得答案．

试题解析：

（1）由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM ．

∵ 四边形ABCD是矩形，

∴ AD∥BC ．

∴∠ANM=∠CMN ．

∴∠CMN=∠CNM ．

∴ CM=CN．

（2）过点N作NH⊥BC于点H，如图所示：

则四边形NHCD是矩形，

∴HC=DN，NH=DC，

∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，

∴===3，

∴MC=3ND=3HC，

∴MH=2HC，

设DN=x，则HC=x，MH=2x，

∴CM=3x=CN，

在Rt△CDN中，DC==2x，

∴HN=2x，

在Rt△MNH中，MN==2x，

∴==2．