Question

【题目】△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，点D在AB边上（不与点A，B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE=90°．
（1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE；

（2）在图1中，连接AE交BC于M，求 的值；

（3）如图2，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH．当点D在边AB上运动时，式子 的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=90°．

∴CD=CE，∠DCB+∠ECF=90°，

∵EF⊥BC，

∴∠ECF+∠CEF=90°，

∴∠DCB=∠CEF，

在△DBC和△CEF中，

，

∴△DBC≌△CFE

（2）

解：如图1，

∵△DBC≌△CFE，

∴BD=CF，BC=EF，

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴AB=BC，

∴AB=EF，AD=BF，

在△ABM和△EFM中，

，

∴△ABM≌△EFM，

∴BM=FM，

∴BF=2BM，

∴AD=2BM，

∴ 的值为2

（3）

解： 的值不变．

在EH上截取EQ=DG，如图2，

在△CDG和△CEQ中

，

∴△CDG≌△CEQ，

∴CG=CQ，∠DCG=∠ECQ，

∵∠DCG+∠DCB=45°，

∴∠ECQ+∠DCB=45°，

而∠DCE=90°，

∴∠HCQ=45°，

∴∠HCQ=∠HCG，

在△HCG和△HCQ中，

，

∴△HCG≌△HCQ，

∴HG=HQ，

∴ = = =1．

【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到CD=CE，再利用等角的余角相等得到∠DCB=∠CEF，然后根据“AAS”可证明△DBC≌△CFE；（2）由△DBC≌△CFE得到BD=CF，BC=EF，再利用△ABC为等腰直角三角形得到AB=BC，所以AB=EF，AD=BF，接着证明△ABM≌△EFM，得到BM=FM，所以 =2；（3）在EH上截取EQ=DG，如图2，先证明△CDG≌△CEQ得到CG=CQ，∠DCG=∠ECQ，由于∠DCG+∠DCB=45°，则∠ECQ+∠DCB=45°，所以∠HCQ=45°，再证明△HCG≌△HCQ，则得到HG=HQ，然后可计算出 =1．
【考点精析】利用等腰直角三角形对题目进行判断即可得到答案，需要熟知等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．