Question

【题目】如图，已知直线lAC：y=﹣交x轴、y轴分别为A、C两点，直线BC⊥AC交x轴于点B．

（1）求点B的坐标及直线BC的解析式；

（2）将△OBC关于BC边翻折，得到△O′BC，过点O′作直线O′E垂直x轴于点E，F是y轴上一点，P是直线O′E上任意一点，P、Q两点关于x轴对称，当|PA﹣PC|最大时，请求出QF+FC的最小值；

（3）若M是直线O′E上一点，且QM=3，在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以Q、F、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（6，0）；y=x﹣2；（2）5；（3）（6，3）或（0，）或（0，7）或（6，9）.

【解析】

（1）利用待定系数法求出A、C两点坐标，再根据两直线垂直k的乘积为-1，求出直线BC的解析式即可解决问题；

（2）首先证明∠ACO=30°，如图，作QH⊥AC于H，交y轴于F．则FH=CF，根据垂线段最短可知，QF+FC的最小值为线段HQ的长；

（3）求出点M坐标分两种情形分别讨论求解即可.

解：（1）由题意A（﹣2，0），C（0，﹣2），

∵直线lAC：y=﹣，BC⊥AC，

∴直线BC的解析式为y=x﹣2，

令y=0，解得x=6，

∴B（6，0）．

（2）∵△OBC关于BC边翻折，得到△O′BC，

∴可得O′（3，﹣3），

当|PA﹣PC|最大时，点P在直线AC上，此时P（3，﹣5），

∵P、Q关于x轴对称，

∴Q（3，5），

在Rt△AOC中，∵tan∠ACO==，

∴∠ACO=30°，

如图，作QH⊥AC于H，交y轴于F．

则FH=CF，

根据垂线段最短可知，QF+FC的最小值为线段HQ的长，

在Rt△PQH中，∵∠HPQ=∠ACO=30°，PQ=10，

∴HQ=PQ=5，

∴QF+FC的最小值为5．

（3）由（2）可知：F（0，4），

∵QM=3，

∴M（3，2）或（3，8），

当M（3，2）时，如图，以Q、F、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形，可得满足条件的点N坐标为（6，3）或（0，）或（0，7）,

当M为（3，8）时，同法可得满足条件的点N坐标为（6，9）或（0，7）或（0，）．