Question

【题目】在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，如图1，再在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，底面为矩形EFGH，如图2．设小正方形的边长为x厘米．

（1）当矩形纸板ABCD的一边长为90厘米时，求纸盒的侧面积的最大值；
（2）当EH：EF=7：2，且侧面积与底面积之比为9：7时，求x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵矩形纸板ABCD的一边长为90cm，

∴矩形纸板的另一边长为3600÷90=40（cm），

则S侧=2[x（90﹣2x）+x（40﹣2x）]=﹣8x2+260x，

=﹣8（x﹣ ）2+ ．

∵﹣8＜0，

∴当x= 时，S侧最大=

（2）解：设EF=2m，则EH=7m，

则侧面积为2（7mx+2mx）=18mx，底面积为7m2m=14m2，

由题意，得18mx：14m2=9：7，

∴m=x．

则AD=7x+2x=9x，AB=2x+2x=4x

由4x9x=3600，且x＞0，

∴x=10

【解析】（1）最值问题可运用函数思想解决，设出自变量x,函数为纸盒的侧面积y,构建二次函数，配成顶点式，求出最大值；（2）用x的代数式表示出侧面积与底面积，根据9：7，再根据总面积为3600，建立方程，求出x.