Question

【题目】在等腰△ABC中，

（1）如图1，若△ABC为等边三角形，D为线段BC中点，线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE，连接DE，则∠BDE的度数为___________；

（2）若△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一动点（不与B，C重合），连接AD并将线段AD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，连接BE.

①根据题意在图2中补全图形；

②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D运动的过程中，恒有CD=BE.经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：

思路1：要证明CD=BE，只需要连接AE，并证明△ADC≌△AEB；

思路2：要证明CD=BE，只需要过点D作DF∥AB，交AC于F，证明△ADF≌△DEB；

思路3：要证明CD=BE，只需要延长CB至点G，使得BG=CD，证明△ADC≌△DEG；

……

请参考以上思路，帮助小玉证明CD=BE.（只需要用一种方法证明即可）

（3）小玉的发现启发了小明：如图3，若AB=AC=kBC，AD=kDE，且∠ADE=∠C，此时小明发现BE，BD，AC三者之间满足一定的的数量关系，这个数量关系是______________________.（直接给出结论无须证明）

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）答案见解析；（3）k(BE+BD)=AC

【解析】试题解析：（1）由AD是等边三角形ABC的BC边上的中线得AD⊥BC，由AE与AD关于AB对称，从而AB垂直平分DE，可得∠ADE＝60°，所以∠BDE=30°；

（2）①根据题意画图即可；

②如思路1，证明△EAB≌△DAC即可得出结论.

（3）k(BE+BD)=AC.

试题解析：（1）∵ΔABC是等边三角形，D是BC边的中点

∴∠BAD=30°

∵线段AD和AE关于直线AB对称

∴DE⊥AB

∴∠ADE=60°

∴∠BDE=90°-60°=30°；

（2）作图如下：

②如图，连接AE.

（3）k(BE+BD)=AC.