Question

【题目】如图，在边长为4的正方形ABCD中，点G是BC边上的任意一点（不同于端点B、C），连接AG，过B、D两点作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分为E、F．

（1）求证：△ABE≌△DAF；

（2）若△ADF的面积为1，试求|BE﹣DF|的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）2

【解析】试题分析：

（1）由已知条件易得：∠DFA=∠AEB=∠DAB=90°，从而可得∠ADF+∠DAF=∠DAF+∠BAE=90°，由此即可得到∠ADF=∠BAE，结合正方形ABCD中AD=AB即可证得△ABE≌△DAF；

（2）设AF=a，DF=b，则由△ADF的面积为1可得，即可得到；由正方形的边长为4在Rt△ADF中可得： ，由此即可得到，即可解得的值，从而可由|BE﹣DF|=|AF﹣DF|求出所求的值.

试题解析：

（1）在正方形ABCD中，∠DAB=90°，AB=AD，

∴∠DAF+∠BAE=90°，

∵DF⊥AG，BE⊥AG，

∴∠AFD=∠BEA=90°，∠DAF+∠ADF=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

在△ABE和△DAF中， ，

∴△ABE≌△DAF（AAS）；

（2）∵△ABE≌△DAF，

∴BE=AF，

设AF=a，DF=b，

∵△ADF的面积为1，

∴AFDF=1，即ab=1，

∴ ab=2，

在Rt△ADF中，根据勾股定理得，AF2+DF2=AD2，即a2+b2=42=16，

∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=16﹣4=12，

∴|a﹣b|=，即|AF﹣DF|=|BE﹣DF|=．