Question

【题目】如图所示，把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，连接AC，且AC=4，

（1）求AC所在直线的解析式；

（2）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），求折叠后纸片重叠部分的面积．

（3）求EF所在的直线的函数解析式．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+4；（2）重叠部分的面积为10；（3）y=2x﹣6

【解析】试题分析：

（1）设OC=x，则OA=2x，在Rt△AOC中，由勾股定理建立方程，解方程求得x的值，即可得到点A、C的坐标，根据所得A、C两点的坐标用待定系数法求出直线AC的解析式即可；

（2）由折叠的性质可得AE=CE，设AE=CE=y，结合OA=8，可得OE=8-y，在Rt△OCE中由勾股定理建立方程解方程求得y的值即可得到CE的值，再证∠CEF=∠AEF=∠CFE可得CF=CE，这样即可由三角形面积公式求出△CEF的面积了.

（3）由（2）可知OE，CF的长，从而可得点E、F的坐标，由此即可用待定系数法求得直线EF的解析式了.

试题解析：

（1）∵，

∴ 可设OC=x，则OA=2x，

在Rt△AOC中，由勾股定理可得OC2+OA2=AC2，

∴x2+（2x）2=（4）2，解得x=4或x=﹣4（不合题意，舍去），

∴OC=4，OA=8，

∴A（8，0），C（0，4），

设直线AC解析式为y=kx+b，

∴ ，解得： ，

∴直线AC解析式为y=x+4；

（2）由折叠的性质可知AE=CE，

设AE=CE=y，则OE=8﹣y，

在Rt△OCE中，由勾股定理可得OE2+OC2=CE2，

∴（8﹣y）2+42=y2，解得y=5，

∴AE=CE=5，

∵∠AEF=∠CEF，∠CFE=∠AEF，

∴∠CFE=∠CEF，

∴CE=CF=5，

∴S△CEF=CFOC=×5×4=10，

即重叠部分的面积为10；

（3）由（2）可知OE=3，CF=5，

∴E（3，0），F（5，4），

设直线EF的解析式为y=k′x+b′，

∴ ，解得： ，

∴直线EF的解析式为y=2x﹣6．