Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，正方形的顶点、分别在轴与轴上，已知正方形边长为3，点为轴上一点，其坐标为，连接，点从点出发以每秒1个单位的速度沿折线的方向向终点运动，当点与点重合时停止运动，运动时间为秒．

（1）连接，当点在线段上运动，且满足时，求直线的表达式；

（2）连接、，求的面积关于的函数表达式；

（3）点在运动过程中，是否存在某个位置使得为等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的坐标为(，3)或(3，)或(3，)或(3，)

【解析】

（1）根据全等三角形的性质求出点P坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（2）分两种情形讨论，点P在线段BC上和点P在线段AB上，分别求解即可解决问题；
（3）分四种情形讨论求解即可；

（1）∵点D的坐标为（1，0），

∴OD=1，

∵四边形ABCO是正方形，且△CPO≌△ODC，
∴CP=OD=1，

∴点P的坐标为（1，3），
设直线OP的解析式为，则有，
∴直线OP的解析式为：；
（2）当点P在线段BC上时，如图，

=CPCO=（），
当点P在线段AB上时，如图，

BP=t-3，AP=6-t，AD=3-1=2，

（），

综上所述，；

（3），

当DC=DP1时，作DH⊥BC于H，如图：

∵四边形ABCO是正方形，且DH⊥BC，

∴四边形DHCO是矩形，

∴，

∴点的坐标为(２，3)；

当时，如图：

，

∴点的坐标为(3，)；

当时，如图：

，

则，

∴点的坐标为(3，)；

当时，如图：

设，

则，

即，

解得：，

∴点的坐标为(3，)；

综上所述，满足条件的点P坐标为(，3)或(3，)或(3，)或(3，) ．