Question

【题目】如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y= x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．

（1）求抛物线的解析式；
（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；
（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，

在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA= = =4，

∵OC⊥AB，

∴由垂径定理得，OB=OA=4，

OC=OE+CE=3+5=8，

∴A（0，4），B（0，﹣4），C（8，0），

∵抛物线的顶点为C，

∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣8）2，

将点B的坐标代入上解析的式，得64a=﹣4，故a=﹣ ，

∴y=﹣ （x﹣8）2，

∴y=﹣ x2+x﹣4为所求抛物线的解析式

（2）

解：在直线l的解析式y= x+4中，令y=0，得 x+4=0，解得x=﹣ ，

∴点D的坐标为（﹣ ，0），

当x=0时，y=4，

∴点A在直线l上，

在Rt△AOE和Rt△DOA中，

∵ = ， = ，

∴ = ，

∵∠AOE=∠DOA=90°，

∴△AOE∽△DOA，

∴∠AEO=∠DAO，

∵∠AEO+∠EAO=90°，

∴∠DAO+∠EAO=90°，即∠DAE=90°，因此，直线l与⊙E相切与A

（3）

解：如图2，过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M．

设M（m， m+4），P（m，﹣ m2+m﹣4），则

PM= m+4﹣（﹣ m2+m﹣4）= m2﹣ m+8= （m﹣2）2+ ，

当m=2时，PM取得最小值 ，

此时，P（2，﹣ ），

对于△PQM，

∵PM⊥x轴，

∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，

又∠PQM=90°，

∴△PQM的三个内角固定不变，

∴在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变，

∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，

PQ最小=PM最小sin∠QMP=PM最小sin∠AEO= × = ，

∴当抛物线上的动点P的坐标为（2，﹣ ）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为 ．

【解析】（1）连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，利用勾股定理求出OA的长，结合垂径定理求出OC的长，从而得到C点坐标，进而得到抛物线的解析式；（2）求出点D的坐标为（﹣ ，0），根据△AOE∽△DOA，求出∠DAE=90°，判断出直线l与⊙E相切与A．（3）过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M．设M（m， m+4），P（m，﹣ m2+m﹣4），得到PM= m+4﹣（﹣ m2+m﹣4）= m2﹣ m+8= （m﹣2）2+ ，根据△PQM的三个内角固定不变，得到PQ最小=PM最小sin∠QMP=PM最小sin∠AEO= × = ，从而得到最小距离．