Question

【题目】如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA，AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D.

(1) 求证：PA是⊙O的切线；

(2) 若，且OC=4，求PA的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）3.

【解析】

试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；

（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．

试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，

∵OP⊥AB，

∴AC=BC，

∴OP是AB的垂直平分线，

∴PA=PB，

在△PAO和△PBO中，

∵，

∴△PAO≌△PBO（SSS）

∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，

∵PB为⊙O的切线，B为切点，

∴∠PBO=90°，

∴∠PAO=90°，

即PA⊥OA，

∴PA是⊙O的切线；

（2）连接BE，

∵，且OC=4，

∴AC=6，

∴AB=12，

在Rt△ACO中，

由勾股定理得：AO=，

∴AE=2OA=4，OB=OA=2，

在Rt△APO中，

∵AC⊥OP，

∴AC2=OCPC，

解得：PC=9，

∴OP=PC+OC=13，

在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.