Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D，E，求AD的长．

Answer 1

【答案】解：连接OD、OE，设AD=x，
∵半圆分别与AC、BC相切于点D、E，
∴∠CDO=∠CEO=90°，CD=CE，
又∵∠C=90°，
∴四边形ODCE是正方形，
∴OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴ ，
又∵AC=4，
∴OD=CD=4﹣x，
又∵BC=6，
∴ = ，
解得：x=1.6，
∴AD=1.6．
【解析】连接OD、OE，设AD=x，根据正方形的判定求出四边形ODCE是正方形，推出OD∥BC，根据相似三角形的判定得出△AOD∽△ABC，得出比例式，代入即可求出答案．
【考点精析】掌握切线的性质定理和相似三角形的判定与性质是解答本题的根本，需要知道切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．